题目

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ． （1） 求角A的大小； （2） 若 ， ， 的内角平分线交边BC于点D，求 ． 答案： 解：∵asinB=bsin(A+π3)由正弦定理得sinAsinB=sinBsin(A+π3)∵sinB≠0，∴sinA=sin(A+π3)∴sinA=12sinA+32cosA，∴12sinA=32cosA∴tanA=3∵A∈(0，π)∴A=π3 解：方法一：∵S△ABC=S△ABD+S△ADC∴12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD+12AD⋅AC⋅sin∠DAC∴12×3×1×sinπ3=12×3×AD×sinπ6+12×AD×1×sinπ6∴AD=334∴AD→⋅AC→=|AD→|⋅|AC→|cosπ6=334×1×32=98方法二：在△ABD中，由正弦定理，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB在△ADC中，由正弦定理，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC∵sin∠BAD=sin∠DAC，sin∠ADB=sin∠ADC∴BDDC=ABAC=31∴AD→=AB→+BD→=AB→+34BC→=AB→+34(AC→−AB→)=14AB→+34AC→∴AD→⋅AC→=(14AB→+34AC→)⋅AC→=14AB→⋅AC→+34AC→2=98方法三：在△ABC中，由余弦定理：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos∠BAC=32+12−2×3×1×cosπ3=7∴BC=7在△ABD中，由正弦定理，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB在△ADC中，由正弦定理，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC∵sin∠BAD=sin∠DAC，sin∠ADB=sin∠ADC∴BDDC=ABAC=31∴DC=74在△ADC中，由余弦定理：DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC⋅cos∠DAC设AD=x，则716=x2+1−2x⋅32即x2−3x+916=0解得x=334或34在△ABC中，由余弦定理：cosC<0，∴C是钝角在△ADC中AD>AC，∴AD=334∴AD→⋅AC→=|AD→||AC→|cosπ6=334×1×32=98

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