题目

如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B ， D两点． （1） 求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2） 点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3） 点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F ， 交抛物线于点G ． 当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标． 答案： 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c∵抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）∴ 4a-2b+c=016a+4b+c=0c=-8,解得a=1b=-2c=-8.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8点D的坐标为（－1，－5） 过P作PE∥y轴，交直线AB于点E设P（x，x2－2x－8）则E（x，x－4）∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ 12 PE·(xE－xD)＋ 12 PE·(xB－xE)＝ 12 PE·(xB－xD)＝ 52 PE＝ 52 (－x2＋3x＋4)＝－ 52 (x－ 32 )2＋ 1258∴当x＝ 32 时，△BDP面积的最大值为 1258此时点P的坐标为（ 32 ，－ 354 ） 设直线y＝x－4与y轴相交于点K，则K（0，－4）∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°∵QF⊥x轴，∴∠DQG＝45°若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形①∠QDG＝90°，过D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），x 2＝2，∴Q1（2，－2）②∠DGQ＝90°，则DH＝QH，∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，－2）或（3，－1）

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