题目

棋盘上标有第0、1、2、 、100站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为 . （1） 当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望； （2） 证明： ； （3） 求 、 的值. 答案： 解：由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6. P(X=3)=(12)3=18 ， P(X=4)=C31⋅(12)3=38 ， P(X=5)=C32⋅(12)3=38 ， P(X=6)=(12)3=18 . 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 3 4 5 6 P 18 38 38 18 所以，随机变量 X 的数学期望为 EX=3×18+4×38+5×38+6×18=92 ； 解：根据题意，棋子要到第 (n+1) 站，由两种情况，由第n站跳1站得到，其概率为 12Pn ，也可以由第 (n−1) 站跳2站得到，其概率为 12Pn−1 ，所以， Pn+1=12Pn+12Pn−1 . 等式两边同时减去 Pn 得 Pn+1−Pn=−12Pn+12Pn−1=−12(Pn−Pn−1) (1≤n≤98) 解：由（2）可得 P0=1 ， P1=12 ， P2=12P1+12P0=34 . 由（2）可知，数列 {Pn+1−Pn} 是首项为 P2−P1=14 ，公比为 −12 的等比数列， ∴Pn+1−Pn=14⋅(−12)n−1=(−12)n+1 ， ∴P99=P1+(P2−P1)+(P3−P2)+⋯+(P99−P98)=12+(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)99 =12+14[1−(−12)98]1−(−12)=23(1−12100) ， 又 P99−P98=(−12)99=−1299 ，则 P98=23(1+1299) ， 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，故有 P100=12P98=13(1+1299) .

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