题目

如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠D=30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方． （1） 将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC． ①此时t的值为  ▲  ；（直接填空） ②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由； （2） 在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由； （3） 在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由． 答案： 解：①3； ②OE平分∠AOC， 理由：∵∠EOC=∠AOC-∠AOE=30°-15°=15°， ∴∠EOC=∠AOE ∴OE平分∠AOC. 解：经5秒或69秒，OC平分∠DOE，理由如下， 三角板旋转一周所需的时间为360°5°=72秒， ∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为360°8°＝45（秒）， 设经过t秒钟，OC平分∠DOE， 由题意得 当8t-5t=45-30 解之：t=5； 当8t-5t=360°+45-30， 解之：t=125＞45，不符合题意； ∵射线OC绕着点O旋转一周的时间为45秒钟，45秒后停止运动， ∴当OD旋转到OC的位置后再旋转45°时，OC平分∠DOE， 此时OD旋转了360°−（60°−45°）＝345°， ∴t=345°5°=69（秒）， 综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE. 解：如图3中， 由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒）， OC旋转到与OB重合时，需要（180−30）÷8＝1834（秒）， ∴OD比OC早与OB重合， 设经过t秒时，OC平分∠DOB， 由题意：8t−（180−30）＝12（5t−90）， 解得：t＝21011， 所以经21011秒时，OC平分∠DOB．

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