题目

已知拋物线C： 经过点 ，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． Ⅰ 求抛物线C的方程以及焦点坐标； Ⅱ 若 与 的面积相等，证明直线l与抛物线C相切． 答案：解：（Ⅰ）∵抛物线x2=2py过点P（2，1），∴4=2p，解得p=2， ∴抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（ 0，1）， （Ⅱ）设（x0， x024 ），由△AFM的面积等于△AFB的面积，可得|MA|=|AB|， 即A是MB的中点，∴A（ x02 ，0），B（0，- x024 ）， ∴直线l的方程为y= x02 （x- x02 ）， 直线l的方程与抛物线C的方程联立得 {y=x02(x−x02)x2=4y  ，得x2-2x0x+x02=0，得x=x0，y= x024 ， ∴直线l与抛物线C只有一个公共点， ∴直线l与抛物线相切，且切点为M

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