题目

设函数.（为自然常数） （1） 当时，求的单调区间； （2） 若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 答案： 解：当a=1时，F(x)=ex−f(x)=(x−1)ln(x−1)−2x，定义域为(1，+∞)，F′(x)=ln(x−1)−1，令F′(x)>0，解得：x>e+1，令F′(x)<0，解得：1<x<e+1，故此时F(x)的单调递增区间为(e+1，+∞)，单调递减区间为(1，e+1). 解：f(x)在区间[1e，1]上有意义，故ax−1>0在[1e，1]上恒成立，可得a>e，依题意可得：f′(x)=ex−aln(ax−1)+1≥0在[1e，1]上恒成立，设g(x)=f′(x)=ex−aln(ax−1)+1，g′(x)=ex−a2ax−1，易知g′(x)在[1e，1]上单调递增，故g′(x)≤g′(1)=e−a2a−1<0，故g(x)=f′(x)=ex−aln(ax−1)+1在[1e，1]上单调递减，最小值为g(1)，故只需g(1)=e−aln(a−1)+1≥0，设h(a)=e−aln(a−1)+1，其中a>e，由h′(a)=−aa−1<0可得：h(a)=e−aln(a−1)+1在(e，+∞)上为减函数，又h(e+1)=0，故a≤e+1.综上所述：a的取值范围为(e，e+1].

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