题目

已知函数的定义域为 ， 若存在常数和 ， 对任意的 ， 都有成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组称为函数的拟合系数. （1） 数组是否是函数的拟合系数？ （2） 判断函数是否是“拟线性函数”，并说明理由； （3） 若奇函数在区间上单调递增，且的图像关于点成中心对称（其中为常数），证明：是“拟线性函数”. 答案： 因为g(x)−kx=2x31+x2−2x=−2x1+x2，所以当x=0⇒g(x)−kx=0，当x≠0时，g(x)−kx=−2x1+x2=−21x+x.因为1x+x≥2或1x+x≤−2，所以|g(x)−2x|≤1，所以数组(2，1)是函数g(x)=2x31+x2的拟合系数. ①当x=π2+2nπ(n∈N*)时，|s(x)−kx|=|π2+2nπ−k(π2+2nπ)|≤A对于n∈N*恒成立，所以k=1成立，②当x=2nπ(n∈N*)时，|s(x)−kx|=|2nkπ|≤A恒成立，所以k=0成立，由①②可知，k不能同时满足，所以函数s(x)=xsinx不是 “拟线性函数”. ∵h(x)的图像关于点(p，q)成中心对称，∴h(p+x)+h(p−x)=2q，令x=0，得：h(p)=q，由于h(x)在区间[0，p]上递增，∴h(p)>h(0)，∴q>0，∵h(x)为奇函数，∴h(0)=0， ∴x∈[0，p]时，h(x)∈[0，q]，记H(x)=h(x)−qpx，下面证明对一切x∈R，都有|H(x)|≤q，∵h(x)为奇函数，∴h(−x)=−h(x)，∴h(p+x)+h(p−x)=h(x+p)−h(x−p)=2q，即h(x+2p)=h(x)+2q，由于H(x+2p)=h(x+2p)−qp(x+2p)=[h(x)+2q]−qpx−2q=h(x)−qpx=H(x) ∴H(x)是周期函数，且一个周期为T=2p，因为当x∈[0，p]时，0≤qpx≤q，∴   −q≤−qpx≤0，又因此时0≤h(x)≤q，∴当x∈[0，p]，H(x)=h(x)−qpx∈[−q，q]，∴   |H(x)|≤q，由于y=h(x)，y=qpx均为奇函数，∴H(x)也为奇函数，当x∈[−p，0]时，−x∈[0，p]，∴     |H(x)|=|H(−x)|≤q也成立，综合得： x∈[−p，p]时，  |H(x)|≤q，当x∈[(2n−1)p，(2n+1)p](n∈Z)时，x−2np∈[−p，p]，∴    |H(x)|=|H(x−2np)|≤q，因此，对一切x∈R， 都有  |H(x)|≤q，即|h(x)−qpx|≤q恒成立.所以h(x)是“拟线性函数”.

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