题目

如图，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ． ，E，F，G分别是 ， ， 的中点． （1） 求证：平面 平面 ． （2） 在线段 上确定一点Q，使 平面 ，并给出证明． 答案： 解：∵ △PCD 中，E，F分别是 PC ， PD 的中点，∴ EF∥CD ，又∵四边形 ABCD 为正方形，得 AB∥CD ，∴ EF∥AB ，∵ EF⊄ 平面 PAB ， AB⊂ 面 PAB ，∴ EF∥ 面 PAB ．同理 EG∥ 面 PAB ，∵ EF ， EG 是面 EFG 内相交直线，∴平面 PAB∥ 平面 EFG ．Q为 PB 中点时， PC⊥ 面 ADQ 解：Q为线段 PB 中点时， PC⊥ 平面 ADQ ，证明：取 PB 中点Q，连接 DE ， EQ ， AQ ，∵ EQ∥BC∥AD ，且 AD≠QE ，∴四边形 ADEQ 为梯形，由 PD⊥ 面 ABCD ， AD⊂ 面 ABCD ，得 AD⊥PD ，∵ AB⊥CD ， PD∩CD=D ，∴ AD⊥ 面 PDC ，又 PC⊂ 面 PDC ，∴ AD⊥PC ．∵ △PDC 为等腰直角三角形， E 为斜边中点，∴ DE⊥PC ，∵ AD ， DE 是面 ADQ 内的相交直线，∴ PC⊥ 面 ADQ ．

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