题目

19. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°.侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. 答案：19.解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1­­、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形.连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF2＝FG·FD＝FD2，∵EF＝1，∴FD＝.于是ED＝，EG＝＝.∵FC=ED=，∴AB＝2，A1B＝2，EB＝.∴sinEBG＝＝·＝.∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin.（Ⅱ）连结A1D，有＝.∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，    ∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则·h＝·ED.又＝＝A1A·AB＝，   ＝AE·ED＝.∴h==.       即A1到平面AED的距离为.解法二：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a,则A（2a,0,0）,B(0,2a,0),D(0,0,1), A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(,,).∴＝(,,),=(0,－2a,1).∴·=－＋＝0，解得a=1.∴＝（2，－2,2），＝（，－，）.∴cosA1BG===.A1B与平面ABD所成角是arccos.（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2,0,0），A1（2,0,2），E（1,1,1），D（0,0,1）.   ·=(－1,1，1) ·（－1，－1,0）＝0，·＝（0,0，2）·（－1，－1,0）＝0，∴ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE,∴点A1在平面AED的射影K在AE上.设＝，则＝＝＝（－，，－2）.由·＝0，即＋＋－2＝0，   解得＝.∴=（－，，－）.∴||=.　故A1到平面AED的距离为.

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