题目

在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且 ， 为线段 上一点． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； (Ⅱ）若 且 ，求证：   平面 ，并求四棱锥 的体积． 答案：解：（Ⅰ）因为 CD⊥ 平面 PAD ， PA⊂ 平面 PAD ， 所以 CD⊥PA ，又 AC⊥PA ，且 CD∩​AC=C ，所以 PA⊥ 平面 ACD . 因为 PA⊂ 平面 PAM ，所以平面 ACD⊥ 平面 PAM . (Ⅱ）在 PD 上取一点 E ，使得 PE=14PD ， 因为 PM=14PC ，所以 . 又 AB=∥14CD ，所以 ME=∥AB ， 所以四边形 ABME 为平行四边形， 所以 MB∥AE ，又 AE⊂ 平面 PAD ， MB⊄ 平面 PAD ， 所以 MB∥ 平面 PAD . 因为 PA⊥ 平面 ACD ，所以 PA⊥AD .因为 AD=4 ， AP=12AD ，即点 P 到 AD 的距离为 12AD=2 ， 即得点 P 到平面 ACD 的距离为2， PM=14PC ，所以点 M 到平面 ACD 的距离为 34×2=32 ， 所以 VM−ABCD=13×32×12   ×(1+4)×4=5 .

查看本题答案和解析