题目

已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）． 答案：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．（Ⅱ）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 12× 4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= 12×(1−4n)1−4−4−(3n−1)4n+1 =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得Tn= 3n−23×4n+1+83 ．所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 3n−23×4n+1+83 ．

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