题目

（阅读理解）：有一组对角互余的四边形称为对余四边形. （1） 若四边形ABCD是对余四边形，∠A＝60°，∠B＝130°，求∠D的度数. （2） 在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°. ①如图1，点E为BC边上一点，AE＝AD，若四边形ABED为对余四边形，求证：BE＝CD； ②如图2，若BC＝ ，CD＝ ，AD＝ ，试判断四边形ABCD是否为对余四边形，并说明理由； ③如图2，若四边形ABCD是对余四边形，当BD＝6，AD＝4时，求CD的长. 答案： 解：∵四边形ABCD是对余四边形且∠A=60°  ∴∠C=90°-∠A=30° ∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=140° （问题探究）： 解：①∵AB=AC，∠BAC=90°  ∴∠B=45°  ∵四边形ABED是对余四边形  ∴∠ADE=45°  又∵AE=AD  ∴∠AED=45°，∠EAD=90° ∵∠BAC=∠EAD=90° ∴∠BAE=∠CAD   ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD   ∴△BAE≌△CAD   ∴BE=CD； ②作CH⊥AD，垂足为H，则∠AHC=∠DHC=90°   ∵∠ABC=45°，BC= 22 ∴AC=BC·sin∠ABC =22×22=2 设DH=x，则AH= 3 +1-x 在Rt△AHC与Rt△DHC中 AC2−AH2=CD2−DH2 ，即 22−(3+1−x)2=(2)2−x2 ，求得x=1，即DH=1 ∵ cos∠ADC=DHDC=12=22 ∴∠ADC=45° ∴∠ABC+∠ADC=90° ∴四边形ABCD是对余四边形； ③过点A作AD的垂线交DC的延长线于点F，连接BF，   ∵AF⊥AD ∴∠DAF=90°=∠BAC ∴∠BAF=∠CAD ∵四边形ABCD是对余四边形且∠ABC=45° ∴∠ADF=45°，∠AFD=45° ∴AF=AD，DF= ADcos∠ADF=4cos45°=42 ∵AB=AC，∠BAF=∠CAD，AF=AD ∴△BAF≌△CAD(SAS) ∴BF=CD，∠AFB=∠ADF=45° ∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=90° Rt△BFD中BF= BD2−DF2=62−(42)2=2 ∴CD=2.

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