题目

已知函数f(x)=ln(1+x)﹣x+ x2(k≥0). (Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)的单调区间. 答案:解:(I)当K=2时, f(x)=ln(1+x)−x+x2,f′(x)=11+x−1+2x 由于 f(1)=ln(2),f′(1)=32 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y−ln2=32(x−1) .即3x﹣2y+2ln2﹣3=0(II)f'(x)= 11+x ﹣1+kx(x>﹣1)当k=0时, f′(x)=x1+x 因此在区间(﹣1,0)上,f'(x)>0;在区间(0,+∞)上,f'(x)<0;所以f(x)的单调递增区间为(﹣1,0),单调递减区间为(0,+∞);当0<k<1时, f′(x)=x(kx+k−1)1+x=0 ,得 x1=0,x2=1−kk>0 ;因此,在区间(﹣1,0)和 (1−kk,+∞) 上,f'(x)>0;在区间 (0,1−kk) 上,f'(x)<0;即函数f(x)的单调递增区间为(﹣1,0)和 (1−kk,+∞) ,单调递减区间为(0, 1−kk );当k=1时, f′(x)=x21+x .f(x)的递增区间为(﹣1,+∞)当k>1时,由 f′(x)=x(kx+k−1)1+x=0 ,得 x1=0,x2=1−kk∈(−1,0) ;因此,在区间 (−1,1−kk) 和(0,+∞)上,f'(x)>0,在区间 (1−kk,0) 上,f'(x)<0;即函数f(x)的单调递增区间为 (−1,1−kk) 和(0,+∞),单调递减区间为 (1−kk,0)
数学 试题推荐