题目

如图，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，MN∥PQ. （1） 如图1，求证：∠A＝∠MCA+∠PBA； （2） 如图2，过点C作CD∥AB，点E在PQ上，∠ECM＝∠ACD，求证：∠A＝∠ECN； （3） 在（2）的条件下，如图3，过点B作PQ的垂线交CE于点F，∠ABF的平分线交AC于点G，若∠DCE＝∠ACE，∠CFB＝∠CGB，求∠A的度数. 答案： 证明：过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA=∠DAC，∠PBA=∠DAB， ∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA， 即：∠A=∠MCA+∠PBA； 证明：∵CD∥AB， ∴∠A+∠ACD=180°， ∵∠ECM+∠ECN=180°， 又∠ECM=∠ACD， ∴∠A=∠ECN； 解：如图，延长CA交PQ于点H， ∵∠ECM=∠ACD，∠DCE=∠ACE， ∴∠MCA=∠ACE=∠ECD， ∵MN∥PQ， ∴∠MCA=∠AHB， ∵∠CAB=∠AHB+∠PBA，且由（2）知∠CAB=∠ECN， ∴∠ABP=∠NCD， 设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x， 由（1）可知∠CFB=∠FCN+∠FBQ， ∴∠CFB=270-2x， 由（1）可知∠CGB=∠MCG+∠GBP， ∴∠CGB=135°−12x， ∴270°−2x=32 （135°−12x） ， 解得：x=54°， ∴∠AHB=54°， ∴∠ABP=∠NCD=180°-54°×3=18°， ∴∠CAB=54°+18°=72°.

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