题目

如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E.若∠BAC=2∠ABE. （1） 求证：AB=AC； （2） 当 是等腰三角形时，求∠BCE的大小. （3） 当AE=4，CE=6时，求边BC的长. 答案： 证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∴ ∠ABE+∠ADB= 90° ∵ ∠BAC=2∠ABE ， ∠ADB=∠ACB ∴ 12∠BAC+∠ACB=90° ∴ ∠ACB=90°−12∠BAC ∴ ∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=90°−12∠BAC ∴ ∠ACB=∠ABC ∴ AB=AC 解：由题意可知： ∠BEC=3∠ABE ，分情况： ① BE=BC 那么 ∠ACB=∠BEC=3∠ABE ， ∠EBC=2∠ABE ∴ ∠ACB+∠BEC+∠EBC=8∠ABE=180° ∴ ∠ABE=22.5° ∴ ∠BCE=3∠ABE=67.5° ② BC=CE 那么 ∠EBC=∠BEC=3∠ABD ∠ACB=∠ABC=∠ABE+∠EBC=4∠ABE ∴ ∠ACB+∠BEC+∠EBC=10∠ABE=180° ∴ ∠ABE=18° ∴ ∠BCE=4∠ABE=72° ③ BE=CE ，此时E，A重合，舍去 解：连接AO并延长，交BC于点F， ∵OA=OB， ∴∠ABE=∠OAB， ∵∠BAC=2∠ABE. ∴∠BAF=∠CAF， ∵AB=AC， ∴AF⊥BC， ∴∠AFB=90°， ∵BD是⊙O的直径 ∴ ∠BCD=90° ∴AF//CD ∴ AOCD=OEDE=AECE=46=23 ∴ OE=25OD ， DE=35OD ， CD=32OA ，BE= 75OD ， ∵∠AEB=∠DEC，∠ABE=∠DCE， ∴ ΔABE ～ ΔDCE ∴ AEDE=BECE ∴ AE⋅CE=DE⋅BE=24 ∵ OB=OD=OA ∴ 35OD⋅75OD=24 ∴ OD=10714 ∴ CD=15714 ， BD=20714 在直角 ΔBCD 中， ∵ BC2+CD2=BD2 ∴ BC=52

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