题目

已知函数 . （1） 令 ，求函数 的单调区间； （2） 若 ，正实数 满足 ，证明： . 答案： 解： g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+x−ax+1 ， 所以 g′(x)=−ax2+(1−a)x+1x ， 当 a≤0 时，因为 x>0 ，所以 g(x)>0 ，即 g(x) 在 (0,+∞) 单调递增， 当 a>0 时， g′(x)=−a(x−1a)(x+1)x ，令 g′(x)=0 ，得 x=1a ， 所以当 x∈(0,1a) 时， g′(x)>0 ， g(x) 单调递增， 当 x∈(1a,+∞) 时， g′(x)<0,g(x) 单调递减， 综上，当 a≤0 时，函数单调递增区间为 (0,+∞) ，无递减区间； 当 a>0 时，函数单调递增区间为 (0,1a) ，单调递减区间为 (1a,+∞) 解：当 a=−2 时， f(x)=lnx+x2+x,x>0 ， 由 f(x1)+f(x2)+x1x2=0 可得 lnx1x2+x12+x1+x22+x2=0 ， 即 (x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2−lnx1x2 ， 令 t=x1x2,φ(t)=t−lnt ，则 φ′(t)=1−1t=t−1t ， 则 φ(t) 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1,+∞) 上单调递增， 所以 φ(t)≥φ(1)=1 ，所以 (x1+x2)2+(x1+x2)≥1 ， 又 x1+x2>0 ，故 x1+x2≥5−12 ， 由 x1>0,x2>0 可知 x1+x2>0

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