题目

已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b． （1） 求证：平面PBD⊥平面PAC； （2） 设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，求a：b的值． 答案： 证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD， 又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC． 解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD， 因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角又 OD=32a,OM=a4,AM=3a4 ，且 OHOM=APPM 从而 OH=bb2+916a2⋅a4=ab16b2+9a2 ∴ tan∠OHD=ODOH=3(16b2+9a2)2b=26 所以9a2=16b2，即 ab=43

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