题目

已知函数 ． （1） 若 ，解不等式 ； （2） 若 ，证明： 恒成立． 答案： 解：当 a=2 时， f(x)=|2x−1|+|x+2|={−3x−1,x≤−2,3−x,−2<x≤12,3x+1,x>12, 当 x≤−2 时， −3x−1<4 ，无解； 当 −2<x≤12 时， 3−x<4 解得： −1<x≤12 ； 当 x>12 时， 3x+1<4 ，解得： 12<x<1 ， 综上所述，不等式的解集为 (−1,1) ． 证明：当 1<a<4 时， f(x)=|ax−1|+|x+2|={−(a+1)x−1,x≤−2,3+(1−a)x,−2<x≤1a,(a+1)x+1,x>1a, 可知 f(x) 在 (−∞,1a) 上单调递减，在 (1a,+∞) 上单调递增， 所以 f(x)min=f(1a)=1a+2>14+2>94 ， 综上可证：若 1<a<4 ，则 f(x)>94 对 ∀x∈R 恒成立．

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