题目

已知直线 ，圆 过坐标原点 . （1） 若圆 以 为圆心，且圆 与 轴、 轴的异于原点0的交点分别为 、 ，求 的面积； （2） 若圆心 在直线 上，直线 与圆 交于 、 两点，且 ，求实数 的取值范围. 答案： 解：∵圆 C 的半径为 |OC|=12+22=5 . ∴圆 C 的方程为 (x−1)2+(y−2)2=5 . 令 y=0 ，得 A(2,0) ，令 x=0 ，得 B(0,4) . 从而 S△AOB=12OA⋅OB=12×2×4=4 解：∵ |OD|=|OE| ，由圆的对称性得：直线 OC 是弦 DE 的垂直平分线. 即 OC 的方程为 x−2y=0 ，设 C(2m,m) ， ∵直线 2x+y−6=0 与圆 C 相交，∴圆心 C(2m,m) 到直线的距离小于半径， 即 |4m+m−6|5<5|m| ，解得 m>35 . 又圆心 C 在直线 l 上，即 2km−m−k+2=0 ，∴ k=m−22m−1 . 令 f(m)=m−22m−1=12−322m−1 ， 函数 f(m) 在 (35,+∞) 上是增函数，则 f(m)>f(35)=−7 . 又 f(m)<12 . ∴ −7<f(m)<12 ，即 −7<k<12 . ∴实数 k 的取值范围为 (−7,12)

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