题目

已知直线l：y=kx+4与抛物线y= x2交于点A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2). （1） 求： ； 的值. （2） 过点(0，-4)作直线PQ∥x轴，且过点A、B分别作AM⊥PQ于点M，BN⊥PQ于点N，设直线l：y=kx+4交y轴于点F.求证：AF=AM=4+y1. （3） 证明： + 为定值，并求出该值. 答案： 解：∵y=kx+4，y= 116 x2， ∴ 116 x2- kx-4=0， ∴ x1·x2=−64 , x1+x2=16k ； ∵y1=kx1+4，y2=kx2+4， ∴ y1·y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16 解：作FC⊥AM于点C， ∵当x=0时， y=0+4=4， ∴F（0,4）. 设A（x1 116 x12）, ∴AF= x12+(116x12−4)2=116x12+4 . ∵AM= 116x12+4 ， ∴AF=AM. ∵y1= 116 x12， ∴AF=AM=4+y1； 解：由（2）知，AF= 116x12+4 ，同理可求BF= 116x22+4 . ∴ 1AF + 1BF = 1116x12+4+1116x22+4 = 1116x12+4+1116x22+4 = y1+y2+8y1y2+4(y1+y2)+16 . ∵ y2+(-8-16k2)y+16=0, ∴ y1·y2=16 ， y1+y2=8+16k2 ， ∴ 1AF + 1BF = 8+16k2+84(8+16k2)+32 = 16k2+1664k2+64=14 .

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