题目

如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值． 答案：证明： （Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以 OA=OB=OC=22SA ，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且 SO=22SA ，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．（Ⅱ）解：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．设B（1，0，0），则C（﹣1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中点 M(−12，0，12) ， MO→=(12，0，−12)，MA→=(12，1，−12)，SC→=(-1,0,-1) ．∴ MO→⋅SC→=0，MA→⋅SC→=0 ．故 MO⊥SC，MA⊥SC，〈MO→，MA→〉 等于二面角A﹣SC﹣B的平面角． cos〈MO→，MA→〉=MO→⋅MA→|MO→||MA→|=33 ，所以二面角A﹣SC﹣B的余弦值为 33 ．

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