题目

已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？ 答案：（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k+1）2﹣4（2k2+2k）=9k2+6k+1﹣8k2﹣8k=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0∴无论k取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴（k﹣1）2=0，解得：k=1．此时原方程化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k=0，解得k=3或5，则原方程化为x2﹣10x+24=0或x2﹣16x+60=0，解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，即b=6，c=4，或b=6，c=10，此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，周长为6+6+4=16或6+6+10=22．

查看本题答案和解析