题目

人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。 （1） 情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿 方向以速度v做匀速直线运动，质点2在 平面内以角速度 做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆运动的时间内，沿 方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距” ； （2） 情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿 方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为 的带正电的粒子，沿与 夹角为 的方向入射，不计带电粒子的重力。 a．请描述带电粒子在 方向和垂直 方向的平面内分别做什么运动； b．求带电粒子轨迹的“螺距” 。 （3） 情境3：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图3所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且 ，地球质量为 ，月球质量为 ，嫦娥五号质量为 ，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距” 。 答案： 质点3在x轴做匀速直线运动有d1=vT，在 yOz内做匀速圆周运动有T=2πω， 联立两式解得d1=2πvω； a．根据题意分析可知， 在Ox方向上做速度为v0cosα的匀速直线运动，在垂直Ox方向上做半径为 mv0sinαqB ，周期 T=2πmqB 的匀速圆周运动； b．由（1）分析可知，d2=vxT=2πmv0cosαqB； 地球对月球的引力提供月球运动的向心力，GM地m月r2=m月v月2r，解得v月=GM地r， 月球对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，Gm0m月R+h2=m04π2T2R+h，解得T=2πR+h3Gm月 根据d=vT，解得 d3=2π(R+h)M地(R+h)m月r。

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