题目

如图，在平面直标 中，椭圆 过点 . （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点 ，求平行四边形ABCD面积S的最大值； （3） 在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点 到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由. 答案： 解：由题意有 {2a2+32b2=13a2+34b2=1 ，解得 {a=2b=3 故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1 解：设点 B 的坐标为 (m,n)(0<n≤3) ，有 m24+n23=1 点A的坐标为 (−2,0) ， |AB|=(m+2)2+n2 直线AB的方程为 y=nm+2(x+2) ，整理为 nx−(m+2)y+2n=0 点 O 到直线AB的距离为 2nn2+(m+2)2 S=(m+2)2+n×2n(m+2)2+n=2n 由 0<n⩽3 ，可知当 n=3 时，平行四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 23 解：由（2）有，若存在满足条件的平行四边形 ABCD ，只需要方程组 {m24+n23=1(m+2)2+n2=2n(m+2)2+n2 有解 整理为 {m24+n23=1(m+2)2+(n−1)2=1 上述方程组有解的问题化归为椭圆 x24+y23=1 与圆 ∣(x+2)2+(y−1)2=1 是否有交点的问题由下图可知，椭圆和圆有两个交点 P,Q ，显然点 Q 为所示 故存在满足条件的平行四边形.

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