题目

在平面直角坐标系xOy中，已知圆 ，圆心 ，点E在直线 上，点P满足 ， ，点P的轨迹为曲线M． （1） 求曲线M的方程． （2） 过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若 、 、 成等差数列，求直线l的方程． 答案： 解：设 P(x,y) ，由 PE→//ON→ ，得 E(−1,y) ， 则 NP→=(x−1,y) ， NE→=(−2,y) ， EP→=(x+1,0) ， EN→=(2,−y) ， 由 NP→⋅NE→=EP→⋅EN→ ，得 (x−1,y)⋅(−2,y)=(x+1,0)⋅(2,−y) ，即 −2x+2+y2=2x+2 ， 化简得： y2=4x ，所以点P的轨迹曲线M的方程为： y2=4x ； 解：由 |AC| 、 |CD| 、 |DB| 成等差数列，得 |AC|+|DB|=2|CD|=4 ， 所以弦长 |AB|=|AC|+|CD|+|DB|=6 ， ①当斜率不存在时，直线l的方程为： x=1 ， 交点 A(1,2) ， B(1,−2) ，此时 |AB|=4≠6 ，不符合题意； ②当斜率存在时，设直线l的方程为： y=k(x−1) ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 联立方程 {y=k(x−1)y2=4x ，消去y得： k2x2−(2k2+4)x+k2=0 ， ∴ x1+x2=2+4k2 ， x1x2=1 ， 显然 Δ=16(k2+1)>0 恒成立， 由抛物线的定义可知， |AB|=x1+x2+2=6 ， ∴ 4+4k2=6 ，解得： k=±2 ，∴直线l的方程为 y=±2(x−1) ．

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