题目

如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣ x2+bx+c（b ， c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C ． （1） 求该抛物线的解析式； （2） P是抛物线上一动点（不与点A、B重合）， ①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D ， 求 的最大值； ②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC ， 以PC为边作正方形CPEF ， 随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标． 答案： 解：直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点， 当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， 把A，B两点的坐标代入解析式得， {−4b+c=8c=4 ，解得， {b=−1c=4 ， ∴抛物线的解析式为 y=12x2−x+4 ； 解：①如图1，作PF∥BO交AB于点F， ∴△PFD∽△OBD， ∴ PDOD=PFOB ， ∵OB为定值， ∴当PF取最大值时， PDOD 有最大值， 设P（x， −12x2−x+4 ），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4）， ∴PF＝ yp−yF=−12x2−x+4−(x+4) ＝ −12x2−2x ， ∵ −12<0 且对称轴是直线x＝﹣2， ∴当x＝﹣2时，PF有最大值， 此时PF＝2， PDOD=PFOB= 12 ； ②∵点C（2，0）， ∴CO＝2， （i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H， 在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°， ∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°， ∴∠HPC＝∠OCF， 在△CPH和△FCO中， {∠HPC=∠OCF∠PHC=∠COFPC=CF ， ∴△CPH≌△FCO（AAS）， ∴PH＝CO＝2， ∴点P的纵坐标为2， ∴ −12x2−x+4=2 ， 解得， x=−1±5 ， ∴ P1(−1+5,2) ， P2(−1−5,2) ， （ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S， 同理可证得△EPS≌△CPK， ∴PS＝PK， ∴P点的横纵坐标互为相反数， ∴ −12x2−x+4=−x ， 解得x＝2 2 （舍去），x＝﹣2 2 ， ∴ P3(−22,22) ， 如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N， 同理可证得△PEN≌△PCM ∴PN＝PM， ∴P点的横纵坐标相等， ∴ −12x2−x+4=x ， 解得 x=−2+23 ， x=−2−23 （舍去）， ∴ P4(−2+23,−2+23) ， 综合以上可得P点坐标（ −2+23 ， −2+23 ），（ −22 ， 22 ），（ −1+5 ，2 ）（ −1−5 ，2 ）．

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