题目

如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 . （1） 求证： 为⊙ 的切线； （2） 若⊙ 半径为3， ，求 . 答案： 证明：连接 OC 、 OD ∵ DE 为 ⊙O 的切线 ∴ ∠ODE=90° ∵ AB 是直径， AB⊥CD ∴ CP=DP ， ∠CPE=∠DPE=90° 又∵ PE=PE ∴ △PCE≌△PDE(SAS) ∴ ∠CEP=∠DEP ， CE=DE 又∵ OE=OE ∴ △OCE≌△ODE(SAS) ∴ ∠OCE=∠ODE=90° ∴ CE 为⊙ O 的切线； 解：过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ，如下图： 由（1）得 DE=CE=4 在 Rt△OCE 中， OC=3 ， CE=4 ，∴ OE=OC2+CE2=5 ∴ CP=OC×CEOE=125 （等面积法） ∴ CD=2CP=245 设 EF=x ，则 CF=4−x 在 Rt△DCF 和 Rt△DEF 中， DF2=CD2−CF2=(245)2−(4−x)2 ， DF2=DE2−EF2=42−x2 ∴ (245)2−(4−x)2=42−x2 解得 x=2825 DF=42−x2=9625 ∴ sin∠DEC=DFDE=2425

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