题目

已知函数 . （1） 当 时，讨论函数 的单调性； （2） 当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解： f(x)2 的定义域为 R ， f′(x)=2ax−2xex=−2x(ex−a) . 当 a>1 时，令 f′(x)>0 ，得 0<x<lna ； 令 f′(x)<0 ，得 x<0 ，或 x>lna . ∴f(x) 在 (−∞，0) 上单调递减，在 (0，lna) 上单调递增，在 (lna，+∞) 上单调递减. 由 f(x)≤2ex−2x3−2x ，得 ax2−2x(ex−x2−1)≤0 ， 当 x>0 时， ax−2(ex−x2−1)≤0 ，即 12a≤ex−x2−1x 对 x>0 恒成立. 设 g(x)=ex−x2−1x(x>0) ， 则 g′(x)=(x−1)(ex−x−1)x2 . 设 h(x)=ex−x−1(x>0) ，则 h′(x)=ex−1 . ∵x>0 ， ∴h′(x)>0 ， ∴h(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， ∴h(x)>h(0)=0 ，即 ex>x+1 ， ∴g(x) 在 (0，1) 上单调递减，在 (1，+∞) 上单调递增， ∴g(x)≥g(1)=e−2 ， ∴a2≤e−2 . ∴a 的取值范围是 (−∞，2e−4] .

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