题目

已知曲线 由抛物线 及抛物线 组成，直线 ： 与曲线 有 （ ）个公共点. （1） 若 ，求 的最小值； （2） 若 ，自上而下记这4个交点分别为 ，求 的取值范围. 答案： 解：联立 x2=−y 与 y=kx−3 ，得 x2+kx−3=0 ，∵ Δ1=k2+12>0 ，∴ l 与抛物线 x2=−y 恒有两个交点.联立 x2=4y 与 y=kx−3 ，得 x2−4kx+12=0 .∵ m≥3 ，∴ Δ2=16k2−48≥0 .∵ k>0 ，∴ k≥3 ，∴ k 的最小值为 3 解：设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ， C(x3，y3) ， D(x4，y4) ，则 A，B 两点在抛物线 x2=4y 上， C，D 两点在抛物线 x2=−y 上，∴ x1+x2=4k ， x1x2=12 ， x3+x4=−k ， x3x4=−3 ，且 Δ2=16k2−48>0 ， k>0 ，∴ k>3 .∴ |AB|=1+k2⋅(4k)2−48 ， |CD|=1+k2⋅k2+12 ，∴ |AB||CD|=(4k)2−48k2+12=   4k2−3k2+12=41−15k2+12 .∴ k>3 ，∴ 0<15k2+12<1 ，∴ |AB||CD|∈(0，4) .

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