题目

已知双曲线 的一个焦点为 ，实轴长为 ，经过点 作直线 交双曲线 于 两点，且 为 的中点． （1） 求双曲线 的方程； （2） 求直线 的方程． 答案： 解：由已知得 2a=2,c=3 ， ∴a=1,b2=c2−a2=2 .所以双曲线 C 的方程为 x2−y22=1 解：设点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由题意可知直线 l 的斜率存在，则可设直线 l 的方程为 y−1=k(x−2) ，即 y=kx+1−2k .把 y=kx+1−2k 代入双曲线 C 的方程 x2−y22=1 ，得 (2−k2)x2−2k(1−2k)x−(1−2k)2−2=0 ，①由题意可知 2−k2≠0 ，所以 xM=x1+x22=k(1−2k)2−k2=2 ，解得 k=4 ．当 k=4 时，方程①可化为 14x2−56x+51=0 . 此时 Δ=562−56×51=280>0 ，方程①有两个不等的实数解．所以直线 l 的方程为 y=4x−7.

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