题目

（本小题满分12分）   已知椭圆:的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为. （ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△面积的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1. 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. 所以，解得所以椭圆的标准方程为. ……………4分                 （Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：. 记，，， .  由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），得，即.所以 即定点（1 ， 0）. ……………8分 （ii）由（i）中判别式，解得.     可知直线过定点 (1,0). 所以   得,  令记，得，当时，. 在上为增函数. 所以 ， 得.故△OA1B的面积取值范围是.  ……………12分

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