题目

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 及其内接等腰三角形 绕底边 上的高所在直线 旋转180°而成，如图2.已知圆 的半径为 ，设 ，圆锥的侧面积为 . （1） 求 关于 的函数关系式； （2） 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 最大.求 取得最大值时腰 的长度. 答案： 解：设 B1 交 BC 于点 D ，过 C1 作 OE⊥AB ，垂足为 E ，在 ΔAOE 中， AE=10cosθ ， AB=2AE=20cosθ ，在 ΔABD 中， BD=AB⋅sinθ=20cosθ⋅sinθ ，所以S =400πsinθcos2θ ， (0<θ<π2) 解：要使侧面积最大，由（1）得：S=400πsinθcos2θ=400π(sinθ−sin3θ)  令 x=sinθ ，所以得 f(x)=x−x3 ，由 f′(x)=1−3x2=0 得： x=33当 (0，33) 时， f′(x)>0 ，当 x∈(33，1) 时， f′(x)<0所以 f(x) 在区间 (0，33) 上单调递增，在区间 (33，1) 上单调递减，所以 f(x) 在 x=33 时取得极大值，也是最大值；所以当 sinθ=33 时，侧面积 S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长 AB=20cosθ=201−sin2θ=201−(33)2=2063答：侧面积 S 取得最大值时，等腰三角形的腰 AB 的长度为 2063cm

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