题目

如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F. （1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；（2）已知四边形ABCD中，∠A=105º，∠D=125º，求∠F的度数；（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由．答案：解：∵∠ABC=80°， ∴∠ABE=180°-∠ABC=100°， ∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF= 12 ∠ABE=50°， ∵BF∥CD ∴∠BCD=∠EBF=50°；解：∵∠FBE是△EBC的外角， ∴∠F=∠EBF-∠ECF ∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD， ∴∠EBF= 12 ∠ABE=，∠ECF= 12 ∠BCD， ∵∠ABE=180°-∠ABC， ∴∠F= 12 （180°-∠ABC）- 12 ∠BCD= 12 [180°-（∠ABC+∠BCD）]， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D， ∴∠F= 12 [180°-（360°-∠A-∠D）]， ∴∠F= 12 （∠A+∠D-180°）， ∵∠A=105º，∠D=125º， ∴∠F= 12 （105º +125º -180°）=25° 解：结论：∠F= 12 （∠A+∠D-180°）理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角， ∴∠F=∠EBF-∠ECF ∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD， ∴∠EBF= 12 ∠ABE=，∠ECF= 12 ∠BCD， ∵∠ABE=180°-∠ABC， ∴∠F= 12 （180°-∠ABC）- 12 ∠BCD= 12 [180°-（∠ABC+∠BCD）]， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D， ∴∠F= 12 [180°-（360°-∠A-∠D）]， ∴∠F= 12 （∠A+∠D-180°）

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