题目

如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的动点，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，射线BE分别交射线AD、AC于点F、G. （1） 当点A、E在直径BC两侧时， ①判断△AFG的形状，并说明理由； ②连接CE，求证：BD=CD+CE； （2） 若⊙O的直径BC=5，CE= ，求CD的长. 答案： 解：①结论：△AFG是等腰三角形， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90º， ∴∠ABG+∠G=90º ∵ AB⌢=AE⌢ ， ∴∠ABG=∠ACB， ∵AD⊥BC， ∴∠FAC+∠ACB=90º， ∴∠FAC=∠G， ∴AF=FG， ∴△AFG是等腰三角形； ②连接AE，在BD上截取BH=CE，连接AH， 由 AB⌢=AE⌢ ， ∴AB=AE， 利用同弧所对圆周角相等， ∴∠ABH=∠AEC， ∴△ABH≌△AEC（SAS）， ∴AH=AC， ∵AD⊥BC， ∴HD=DC， ∴BD=BH+HD=CE+DC； 解：当点A、E在 BC两侧时，由②知BH=CE= 75 ， HC=BC-BH=5- 75 = 185 ， CD= 12HC = 95 ， 当点A、E在BC同侧时，连结OA交BE于M，BC为直径，∠BEC=90º， 由勾股定理得BE= BC2-CE2=52-(75)2=245 ， 由于 AB⌢=AE⌢ ，OA为半径， ∴BM=EM= 12 BE= 125 ， ∵OM∥CE， ∴OM= 12 CE= 710 ， AM=AO-OM= 52-710=1810=95 ， 在△BOM和△AOD中， ∵∠BOM=∠AOD，∠BMO=∠ADO=90º，BO=AO， ∴△BOM≌△AOD（AAS）， ∴BD=AM= 95 ， ∴CD=BC-BD=5- 95=255-95=165 ， ∴CD的长为 95 或 165 .

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