题目

已知等差数列的首项 ， 公差 ， 且 ， ， 成等比数列． （1） 求数列的通项公式； （2） 设 ， ， 问是否存在最大的正整数m，使得对任意正整数n均有总成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由． 答案： 解：在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a22=a1a5，即(1+d)2=1×(1+4d)，而d≠0，解得d=2，则an=a1+(n−1)d=2n−1，所以数列{an}的通项公式是：an=2n−1. 解：由（1）知，bn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，则有Sn=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1，因Sn+1−Sn=bn+1=1(2n+1)(2n+3)>0，则数列{Sn}单调递增，(Sn)min=S1=b1=13，因对任意正整数n均有Sn>m2022成立，于是得m2022<13，解得m<20223=674，而m∈N∗，则mmax=673，所以存在最大的正整数m=673，使得对任意正整数n均有Sn>m2022总成立.

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