题目

已知椭圆 的离心率为，长轴长为． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q. （ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标． 答案：．解：（1）由已知解得 所以椭圆C的标准方程是. ………………………………（3分） （2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0). 设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝. 设M为PQ的中点，则M点的坐标为.      …………6分 因为，所以直线FT的斜率为，其方程为. 当时，，所以点的坐标为， 此时直线OT的斜率为，其方程为. 将M点的坐标为代入，得. 解得.                     ………………………………………………8分 （ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为. 于是，      .          …………10分 所以 .     ……………12分 当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值． 故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．    ……………12分

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