题目

已知函数 ，设曲线 在点 处的切线方程为 . （1） 求 的解析式； （2） 证明：对定义域内任意 ，都有 ； （3） 当 时，关于 的方程 有两个不等的实数根 ，证明： . 答案： 解：∵ f'(x)=alnx−1x ∴ f'(e)=a−1e ，又 f(e)=0 ，∴ g(x)=(a−1e)(x−e) . 证明：令 F(x)=f(x)−g(x)=f(x)−f'(e)(x−e) ， ∴ F'(x)=f'(x)−f'(e)=alnx−1x−a+1e 在 (0，+∞) 上单调递增，且 F'(e)=0 ， ∴当 0<x<e 时 F'(x)<0 ， F(x) 单调递减，当 x>e 时 F'(x)>0 ， F(x) 单调递增， ∴ F(x)≥F(e)=0 恒成立，∴ f(x)≥g(x) 恒成立. 证明：当 a=1 时， f(x)=(lnx−1)(x−1) ，则 f'(x)=lnx−1x ，所以 f'(x) 在定义域内单调递增，而 f'(1)=−1<0 ， f'(e)=1−1e>0 ，∴存在 x0∈(1，e) ，使 f'(x0)=0 . ∴当 x∈(0，x0) 时， f'(x)<0 ， f(x) 单调递减；当 x∈(x0，+∞) 时， f'(x)>0 ， f(x) 单调递增， 令 f(x)=0 解得 x=1 或 e .由（1）（2）可知 y=f(x) 在 (e，0) 处的切线方程为 g(x)=(1−1e)(x−e) ，且 f(x)≥g(x) 恒成立，又 f'(1)=ln1−11=−1 ，所以 y=f(x) 在 (1，0) 处的切线方程为 h(x)=−x+1 ， 令 H(x)=f(x)−h(x)=(lnx−1)(x−1)−(−x+1)=(x−1)lnx ， 当 x>1 时， x−1>0，lnx>0 ，当 0<x<1 时， x−1<0，lnx<0 ， ∴ H(x)≥0 恒成立. 设函数 y=f(x) 在两个零点处的切线方程与直线 y=m 的交点的横坐标分别为 x1' 和 x2' ，不妨设 x1<x2 ，则 x1>x1' ， x2<x2' ，令 g(x)=h(x)=m ，解得 x2'=eme−1+e ， x1'=1−m ， ∴ |x2−x1|<|x2'−x1'|=m(1+ee−1)+e−1 ，故得证.

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