题目

如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P． （1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长； （3）连接PA，△PAB面积的最大值为　　．（直接填写结果） 答案：解：（1）在△ABD1和△ACE1中             ∴△ABD1≌△ACE1 ∴BD1=CE1                   （2）延长BA交D1E1于F，如图， 由（1）知△ABD1≌△ACE1， 可证∠CPD1=90° ∴∠CAD1=45°， ∴∠BAD1=135° ∴∠D1AF=45°=∠AD1E1， 在Rt△AD1E1中，AD1=AE1=2， ∴AF=D1F=D1E1==； ∵∠AFD1=90°， ∴BD1=2． （3）如图 作PG⊥AB，交AB所在直线于点G， ∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上， 当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大， 此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2， 则BD1==2， ∴∠ABP=30°， ∴PB=2+2， ∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+． ∴△PAB的面积最大值为AB×PG=2+2， 故答案为2+2．

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