题目

为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木AE的高度H（m），垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题： （1） 若测得α=60°、β=30°，试求H的值； （2） 经过分析若干次测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d（单位：m），使α与β之差较大时，可以提高测量精确度．若树木的实际高度为8m，试问d为多少时，α﹣β最大？ 答案： 解：在Rt△ABE中可得AD= Htanβ ，在Rt△ADE中可得AB= Htanα ，BD= htanβ ，由AD﹣AB=DB，故得 Htanβ−Htanα=htanβ ，得：H= htanαtanα−tanβ = 4×33−33 =6．因此，算出的树木的高度H是6m． 解：由题设知d=AB，得tanα= Hd ，tanβ= HAD = hBD = H−hd ，tan（α﹣β）= tanα−tanβ1+tanαtanβ = Hd−H−hd1+Hd⋅H−hd = hdd2+H(H−h) = hd+H(H−h)d≤h2d⋅H(H−h)d = h2H(H−h) ，（当且仅当d= H(H−h) ）时，取等号）故当H=8时，d=4 2 ，tan（α﹣β）最大．因为0＜β＜α＜ π2 ，则0＜α﹣β＜ π2 ，所以当d=4 2 时，α﹣β最大．

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