题目

已知函数 ，且 ， （1） 试判断函数 的单调性并说明理由。 （2） 若对任意的 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 答案： 解：∵函数 f(x)=2x ，且 f(a+2)=8 ， ∴ 2a+2=8,a+2=3, ∴ a=1 ， ∴ g(x)=1−22x+1 函数 g(x)=1−22x+1 在 (−∞,+∞) 上为增函数， 证明如下：任取 x1<x2, 则 g(x1)−g(x2)=(1−22x1+1)−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1) ， ∵ x1<x2, ∴ 2x1−2x2<0 ， (2x2+1)(2x1+1)>0 ， ∴ g(x1)−g(x2)<0 ，即 g(x1)<g(x2) ∴函数 y=g(x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数； 解： g(x)=1−22x+1=2x−12x+1 g(−x)= 2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−g(x) ， 即 g(−x)=g(x) ∴ y=g(x) 为奇函数， 由 g(2x)+g(x2−m)>0 可得 g(2x)>−g(x2−m)=g(m−x2) ， 又函数 y=g(x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数， ∴ 2x>m−x2 ，即 2x+x2>m 又 2x+x2=(x+1)2−1≥−1 ∴ m<−1 ， ∴实数 m 的取值范围 (−∞,−1)

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