题目

设函数 . （1） 求f(x)的单调区间； （2） 如果当x>0，且x≠1时， ，求k的取值范围. 答案： ∵f'(x)=x−1x−lnx(x−1)2=1−1x−lnx(x−1)2. - 令 h(x)=1−1x−lnx. ∴h'(x)=1x2−1x=1−xx2 . 当 x∈(0，1) 时， ∴h'(x)>0，∴h（x）在 （0，1） 单调递增. 当 x∈(1，+∞) 时， ∴h'(x)<0，∴h（x）在（1，+∞） 单调递减. ∴当x∈(0，+∞)时，h（x）≤h（1）=0 ∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f'（x）<0 ∴f(x) 单调递减区间为 （0，1），（1，+∞） ；没有单调递增区间. ∵ 当x >0，且x ≠1时，lnxx+1−kx>f(x)， ∴ lnxx+1−lnxx−1−kx>0， ∴1x2−1(2lnx+x2−1xk)<0. 令 g(x)=2lnx+(x−1x)k. ∵当x ∈（0，1）时，1x2−1<0，当x ∈（1，+∞）时，1x2−1>0 ∴当x ∈（0，1）时，g（x）>0，当x ∈（1，+∞）时，g（x）<0 解法一： ∵g(1)=0∴g'(1)≤0.又∵g'(x)=2x+(1+1x2)k，∴g'(1)=2+2k≤0，∴k≤−1. 当x≤-1时， g'(x)=2x+(1+1x2)k≤2x−(1+1x2)=−x2−2x+1x2=−(x−1)2x2≤0. ∴g（x）在（0，+∞）单调递减 满足条件当 x∈(0，1)时，g(x)>0， 当 x∈(1，+∞) 时， g(x)<0 ∴k≤−1. 解法二： ∵g'(x)=2x+(1+1x2)k=kx2+2x+kx2 ， ∴当k≥0时，当 x∈[1，+∞) 时， g'(x)>0 ∴ g(x) 在 [1，+∞) 单调递增 ∴当 x∈(1，+∞) 时， g(x)>g(1)=0 与条件不符，舍去   当k≤-1时， ∵g'(x)=kx2+2x+kx2=(k+1)x2−(x−1)2+k+1x2=(k+1)(x2+1)−(x−1)2x2≤0  . ∴g（x）在（0，+∞）单调递减 ∵g(1)=0 ∴满足条件当 x∈(0，1) 时， g(x)>0 ，当 x∈(1，+∞) 时， g(x)<0. 当 −1<k<0 时，令 m(x)=kx2+2x+k ， Δ=4−4k2>0 . 当 m(x)=0时，x=−2±4−4k22k， 由于当 x∈(1，−2−4−4k22k)时，m(x)>0 ， ∴g'(x)>0，∴g(x) 在 (1，−2−4−4k22k) 单调递增， ∴ 当 x∈(1，−2−4−4k22k)时，g(x)>g(1)=0 与条件不符，舍去. 综上所述，k≤-1 .

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