题目

已知圆 ： . （1） 过点 的直线 与圆 相切，求直线 的方程； （2） 过圆 上一点 作两条相异直线分别与圆 相交于 ， 两点，且直线 和直线 的倾斜角互补.求证：直线 的斜率为定值. 答案： 解：由题意可知，点 M(−3,0) 在圆 C 上，则点 M(−3,0) 是圆 C 的切点. 又圆 C 的方程可化为， (x−1)2+(y+2)2=20 . 所以圆 C 的圆心为 (1,−2) ，半径 r=25 . 所以 kMC=0+2−3−1=−12 . 由 kMC⋅kl=−1 可求得， kl=2 . 此时，所求直线 l 的方程为 y−0=2(x+3) ，即 y=2x+6 . 故所求直线 l 的方程为 2x−y+6=0 . 解：由题意知，直线 PA 和 PB 的斜率存在，且互为相反数. 可设直线 PA 的方程为 y−2=k(x+1) 由 {y−2=k(x+1)x2+y2−2x+4y−15=0 消元，得 (k2+1)x2+2(k2+4k−1)x+k2+8k−3=0 . 由点 P(−1,2) 在圆 C 上可知，点 P(−1,2) 的横坐标 x=−1 是上述方程的一个解. 所以 xA⋅(−1)=k2+8k−3k2+1 ，即 xA=−k2−8k+3k2+1 . 可设直线 PB 的方程为 y−2=−k(x+1) ，同理可得， xB=−k2+8k+3k2+1 . 所以 kAB=yB−yAxB−xA=−k(xB+1)−k(xA+1)xB−xA=−2k−k(xB+xA)xB−xA=−12 . 故直线 AB 的斜率为定值 −12 .

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