题目

已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）． （1） 直接写出抛物线解析式； （2） 如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵抛物线的顶点为（0，4），∴可设抛物线解析式为y=ax2+4，又∵抛物线过点（2，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4； 解：①如图，连接CE，CD．∵OD是⊙C的切线，∴CE⊥OD．在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，∴∠EDC=30°，∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，∴OC= 433 ，∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k=OC= 433 ；②存在k=2 2 ，能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上．理由如下：设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它与y=﹣x2+4交于点P，由﹣（x﹣k）2+4=﹣x2+4，解得x1= k2 ，x2=0（不合题意舍去），当x= k2 时，y=﹣ 14 k2+4，∴点P的坐标是（ k2 ，﹣ 14 k2+4）．设直线OD的解析式为y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m= 4k ，∴直线OD的解析式为y= 4k x，若点P（ k2 ，﹣ 14 k2+4）在直线y= 4k x上，得﹣ 14 k2+4= 4k • k2 ，解得k=±2 2 （负值舍去），∴当k=2 2 时，O、P、D三点在同一条直线上．

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