题目

已知函数 的两个零点为 ． （1） 求实数m的取值范围； （2） 求证： ． 答案： 解： f(x)=−mx2+12x=x−2m2x2 ，当 m≤0 时， f′(x)>0 ， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，不可能有两个零点； 当 m>0 时，由 f′(x)>0 可解得 x>2m ，由 f′(x)<0 可解得 0<x<2m ， 所以 f(x) 在 (0,2m) 上单调递减，在 (2m,+∞) 上单调递增， 所以 f(x)min=f(2m)=m2m+12ln2m−1 ， 要使得 f(x) 在 (0,+∞) 上有两个零点，则 12+12ln2m−1<0 ，解得 0<m<e2 ， 则m的取值范围为 (0,e2) ． 解：令 t=1x ，则 f(x)=m1x−12ln(1x)−1=mt−12lnt−1 ， 由题意知方程 mt−12lnt−1=0 有两个根， 即方程 m=lnt+22t 有两个根， 不妨设 t1=1x1 ， t2=1x2 ，令 h(t)=lnt+22t ， 则当 t∈(0,1e) 时， h(t) 单调递增， t∈(1e,+∞) 时， h(t) 单调递减， 综上可知， t1>1e>t2>0 ， 要证 1x1+1x2>2e ，即证 t1+t2>2e ，即 t1>2e−t2>1e ，即证 h(t1)<h(2e−t2) ， 令 φ(x)=h(x)+h(2e−x) ，下面证 φ(x) 对任意的 x∈(0,1e) 恒成立， φ(x)=h(x)+h(2e−x)=−1−lnx2x2+−1−ln(2e−x)2(2e−x)2 ∵ x∈(0,1e) ，∴ −lnx−1>0 ， x2<(2e−x)2 ∴ φ(x)>−1−lnx2(2e−x)2+−1−ln(2e−x)2(2e−x)2=−2−lnx(2e−x)2(2e−x)2 又∵ x∈(0,1e) ，∴ x(2e−x)≤(x+2e−x2)2=1e2 ∴ φ(x)>0 ，则 φ(x) 在 (0,1e) 单调递增 ∴ φ(x)<φ(1e)=0 ，故原不等式成立．

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