题目

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．答案：解：（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM， ∵AB＝BC，PA＝PC， ∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M， ∴AC⊥平面PBM， ∵BP⊂平面PBM， ∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2， ∴∠ABC＝120°， ∵AB＝BC＝1，∴AC =3 ，BM =12 ，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD． ∵PA＝PC =3 ，CM =12AC=32 ，∴PM =32 ， ∵PB =132 ，∴cos∠BMP =PM2+BM2−BP22PM⋅BM=−12 ，∴∠PMB＝120°，以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：则A（0， −32 ，0），C（0， 32 ，0），P（ −34 ，0， 334 ），D（﹣1， 32 ，0）， ∴ AD→= （﹣1， 3 ，0）， AC→= （0， 3 ，0）， AP→= （ −34 ， 32 ， 334 ），设平面ACP的法向量为 n→= （x，y，z），则 {n→⋅AC→=0n→⋅AP→=0 ，即 {3y=0−34x+32y+334z=0 ，令x =3 得 n→= （ 3 ，0，1）， ∴cos <n→ ， AD→>=n→⋅AD→|n→||AD→|=−34 ， ∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos <n→ ， AD→> | =34 ．

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