题目

如图，在⊙O中，AB、CE是直径，BD⊥CE于G，交⊙O于点D，连接CD、CB. （1） 如图1，求证：∠DCO=90°- ∠COB； （2） 如图2，连接BE，过点G作BE的垂线分别交BE、AB、CD于点F、H、M，求证：MC=MD； （3） 在（2）的条件下，连接AC交MF于点N，若MN=1，NH=4，求CG的长. 答案： 证明：在 ⊙O 中， ∠BDC=12∠COB. ∵BD⊥CE, ∴∠DCO+∠BDC=90∘. ∴∠DCO=90∘−∠BDC=90∘−12∠COB. 证明：在 Rt△BEG 中， GF⊥BE , GF⊥BE . ∴∠E+∠EGF=90∘,∠EGF+∠BGF=90∘. ∴∠E=∠BGF. ∠E=∠D.   ∠BGF=∠DGM. ∴∠D=∠DGM. ∴MD=MG. 同理可得, MC=MG. ∴MC=MD. 解： ∵AB,CE 是直径,   ∴∠EBC=∠ACB=90∘, 又 ∵GF⊥BE ∴ 四边 BCEF 是矩形, ∴NF=BC,∠CNG=∠BFH=90∘,CN=BF. 又 ∵∠NCG=∠FBH.   △CNG≌△BFH, ∴NG=FH. 设 NG=x.   MG=x+1. M,G 分别是 DC,DB 的中点， BC=2MG=2(x+1). NF=NH+FH=x+4. ∵BC=NF. 即： 2(x+1)=x+4. 解得： x=2.   BC=6. 在等腰直角 △BCG ,可解得： CG=23.

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