题目

在① ，② ， ③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足______（填写序号即可） （1） 求 ； （2） 若 ，求 的取值范围． 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分． 答案： 解：若选①，由正弦定理得 2sinAsinB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA ， 因为 sinA≠0 ，所以 sinB=12 ， 又因为 B∈(0，π2) ，所以 B=π6 注：亦可用余弦定理、射影定理求解． 若选②，由正弦定理得 a2−b2+c2−3ac=0 ，即 a2+c2−b2=3ac ， 由余弦定理得 cosB=a2+c2−b22ac=32 又因为 B∈(0，π2) ，所以 B=π6 若选③， −3sinB=cosAcosC−sinAsinC=cos(A+C)=cos(π−B)=−cosB ， 从而得 tanB=33 ， 又因为 B∈(0，π2) ，所以 B=π6 解：由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 得 b=sinBsinA=12sinA ， c=sinCsinA=sin(A+B)sinA=32sinA+12cosAsinA=32+cosA2sinA ， 所以 b+c=32+1+cosA2sinA=32+2cos2A24sinA2cosA2=32+12tanA2 ， 由 △ABC 是锐角三角形可得 {0<A<π20<C=5π6−A<π2 ，得 π3<A<π2 ，则 π6<A2<π4 ， 因为 y=tanx 在 (π6，π4) 上单调递增，所以 anA2∈(33，1) ，从而 1tanA2∈(1，3) ， 所以 b+c 的取值范围为 (1+32，3)

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