题目

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE. （1） 求抛物线的表达式； （2） 判断△BCE的形状，并说明理由； （3） 如图2，以C为圆心， 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋ EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， ∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8， ∵与y轴交于点C（0，6）， ∴把点C（0，6）代入得：a= −12 ， ∴该抛物线的表达式为y= −12 x2+2x+6 解：△BCE是直角三角形.理由如下： ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴当y=0时， −12 （x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， ∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80， ∴BE2=BC2+CE2， ∴∠BCE=90°， ∴△BCE是直角三角形 解：如图，在CE上截取CF= 22 （即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP， 则BF的长即为所求. 连接CP，∵CP为半径， ∴ CFCP=CPCE=12 ， 又∵∠FCP=∠PCE， ∴△FCP∽△PCE， ∴ CFCP=FPPE=12 ，FP= 12 EP， ∴BF=BP+ 12 EP， 由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+ 12 EP为最小值. ∵CF= 14 CE，E（2，8）， ∴F（ 12 ， 132 ）， ∴BF= (6−12)2+(0−132)2=2902

查看本题答案和解析