题目

已知 （ ）. （1） 讨论 的单调性； （2） 当 时，对任意的 ， ，且 ，都有 ，求实数m的取值范围. 答案： 解： f′(x)=ax+(a−1)x=(a−1)x2+ax （ x>0 ）. ①当 a≥1 时， f′(x)>0 ， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增； ②当 0<a<1 时， f′(x)=(a−1)(x+−aa−1)(x−−aa−1)x ， 所以当 x>−aa−1 时， f′(x)<0 ，当 0<x<−aa−1 时， f′(x)>0 ， 所以 f(x) 在 (0,−aa−1) 上单调递增，在 (−aa−1,+∞) 上单调递减； ③当 a≤0 时， f′(x)<0 ， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减. 解：当 a=−1 时， f(x)=−lnx−x2+1 ，不妨设 0<x1<x2 ，则 |x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|>mx1x2 等价于 |f(x2)x2−f(x1)x1|>m(x2−x1) ， 考查函数 g(x)=f(x)x ，得 g′(x)=lnx−x2−2x2 ， 令 h(x)=lnx−x2−2x2 ， h′(x)=5−2lnxx3 ， 则 x∈(0,e52) 时， h′(x)>0 ， x∈(e52,+∞) 时， h′(x)<0 ， 所以 h(x) 在区间 (0,e52) 上是单调递增函数，在区间 (e52,+∞) 上是单调递减函数. 故 g′(x)≤g′(e52)=12e5−1<0 ，所以 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递减. 从而 g(x1)>g(x2) ，即 f(x2)x2<f(x1)x1 ，故 f(x1)x1−f(x2)x2>m(x2−x1) ， 所以 f(x1)x1+mx1>f(x2)x2+mx2 ，即 g(x1)+mx1>g(x2)+mx2 恒成立， 设 φ(x)=g(x)+mx ，则 φ(x) 在 (0,+∞) 上恒为单调递减函数， 从而 φ′(x)=g′(x)+m≤0 恒成立，故 φ′(x)=g′(x)+m≤12e5−1+m≤0 ， 故 m≤1−12e5 .

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