题目

如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ， ． （1） 证明： ； （2） 求二面角 的正弦值． 答案： 如图，作 DH⊥AC 于点 H ，连结 BH 由于平面 ACFD⊥ 平面 ABC ，平面 ACFD∩ 平面 ABC=AC DH⊂ 平面 ACFD ∴DH⊥ 平面 ABC ，又 BC⊂ 平面 ABC ∴DH⊥BC 由于 DC=2BC ， ∠ACB=∠ACD=45° ∴CH=DH=22CD 在 ΔHCB 中， BH2=BC2+HC2−2BC⋅HCcos45∘=14CD2∴BH=12CD ∴BH2+BC2=CH2∴BC⊥BH 又 DH∩BH=H，DH，BH⊂ 平面 BDH ∴BC⊥ 平面 BDH ，又 BD⊂ 平面 BDH ∴BC⊥BD 由（1）中结论，以 H 为坐标原点，分别以 CB→，HB→，HD→ 为 x，y，z 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，不妨设 BC=1 则 H(0，0，0)，B(0，1，0)，C(−1，1，0)，D(0，0，2) 由于平面 FCD 与平面 HCD 重合，故求平面 HCD 的法向量即可 设平面 HCD 的法向量 n1→=(x1，y1，z1)，HC→=(−1，1，0)，HD→=(0，0，2) ∴{n1⇀⋅HC⇀=−x1+y1=0n2⇀⋅HD⇀=2z1=0 ，不妨设 x1=1，∴y1=1，z1=0 ∴n1→=(1，1，0) 设平面 BCD 的法向量 n2→=(x2，y2，z2)，BC→=(−1，0，0)，BD→=(0，−1，2) ∴{n2⇀⋅BC⇀=−x2=0n2⇀⋅BD⇀=−y1+2z1=0 ，不妨设 z2=1，∴y2=2，x2=0 ∴n2→=(0，2，1) 则 cos<n1→，n2→>=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=22⋅3=33 不妨设二面角 F−CD−B 为 θ ，因此 sinθ=1−cos2<n1→，n2→>=63 故二面角 F−CD−B 的正弦值为 63 .

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